Aussagenlogik (Teil 1)

Zunächst ein bisschen Humor, man wird ihn brauchen. Sei kein Pinguin - lern Logik:

Die Aussagenlogik überprüft eine atomare Aussage auf ihren Wahrheitsgehalt. Eine atomare Aussage ist eine strukturlose, abstrakte Elementaraussage, wie unten beschrieben. Eine Aussage kann wahr oder falsch sein - binär gesprochen 1 oder 0. Man merkt schon, dass die Aussagenlogik nicht den Anspruch erhebt natürlichsprachige Phänomene völlig abzudecken. Abstufungen werden nicht berücksichtigt, dafür gibt es die Fuzzy Logic. Wofür ist also Logik gut? Dafür:

Es handelt sich eherum ein Formalismus, der zur semantischen Wahrheitswertzuweisung dient und uns, durch die Abstraktion, abhalten soll die Aussagen weiter zu zerlegen und zu interpretieren. Nehmen wir zwei Sätze:

(α) Der Mond dreht sich um die Erde.
(β) Die Erde ist eine Scheibe.

Durch unsere Allgemeinbildung wissen wir, dass A wahr und B falsch ist. Daraus ergibt sich folgende Funktion:

g: {A1, A2, A3, ... } → { 0, 1 }

Natürlich könnten wir beide Aussagen mit einer Konjunktion (z.B. und bzw. oder) verbinden. In der Aussagenlogik gibt es auch solche Konjunktionen, sie heißen Junktoren und verbinden atomare Aussagen:

¬ (Negation, sprich: nicht)

∧ (Konjunktion, sprich: und)

∨ (Disjunktion, sprich: oder)

⇒ (Implikation, sprich: wenn, dann)

⇔ (Äquijunktion, sprich: genau dann, wenn)

Im übrigen lassen sich alle Junktoren mittels ¬ und ∨ ausdrücken. Implikation und Äquijunktion sind einfach nur abgekürzte Schreibweisen, auf deren Herleitung ich nicht besonders eingehen will. Beschäftigen wir uns zunächst mit der Negation. Eine Aussage kann wahr sein, dann muss die Negation dieser Aussage falsch sein und umgekehrt, daraus lässt sich folgende Wahrheitstabelle erstellen, welche alle Möglichkeiten aufzeigt:

α	¬α
wahr	falsch
falsch	wahr

Konkret auf α und β bezogen:

(α) Der Mond dreht sich um die Erde = 1, also (¬α) Der Mond dreht sich nicht um die Erde = 0
(β) Die Erde ist eine Scheibe = 0, also (¬β) Die Erde ist keine Scheibe = 1

Die allgemeingültige Formel dafür ist:

I (¬φ) = 1, falls I (φ) = 0, sonst I (¬φ) = 0

I ist die Interpretationsfunktion für die gilt:

I (A_i) = g (A_i)

Dabei steht φ für die ein atomares Element der Funktion und ψ für ein anderes, unterschiedliches, Element der Funktion. Hier einmal die allgemeingültigen Regeln, welche wir später einzeln abhandeln wollen:

1. I (¬φ) = 1, falls I (φ) = 0, sonst I (¬φ) = 0

2. I ((φ ∧ ψ)) = 1, falls I (φ) = 1 und I (ψ) = 1, sonst I ((φ ∧ ψ)) = 0

3. I ((φ ∨ ψ)) = 1, falls I (φ) = 1 oder I (ψ) = 1, sonst I ((φ ∨ ψ)) = 0

4. I ((φ ⇒ ψ)) = 1, falls I (φ) = 0 oder I (ψ) = 1, sonst I ((φ ⇒ ψ)) = 0

5. I ((φ ⇔ ψ)) = 1, falls I (φ) = (ψ), sonst I ((φ ⇔ ψ)) = 0

Konkretisieren wir das, ab Punkt 2, mit den obigen Beispielen:

(α) Der Mond dreht sich um die Erde.
(β) Die Erde ist eine Scheibe.


2. Konjunktion: Der Mond dreht sich um die Erde und sie ist eine Scheibe. Diese Aussage ist falsch und das obwohl der erste Teil stimmt, aber der zweite Teil der Aussage ist falsch und somit auch die Gesamtaussage. Es müssen beim Junktor ∧ also alle Teilaussagen wahr sein. Daraus ergibt sich folgende Wahrheitswerttabelle:

α	β	α ∧ β
wahr	wahr	wahr
falsch	wahr	falsch
wahr	falsch	falsch
falsch	falsch	falsch

Oder eben folgende allgemeingültige Formel:

I ((φ ∧ ψ)) = 1, falls I (φ) = 1 und I (ψ) = 1, sonst I ((φ ∧ ψ)) = 0

3. Disjunktion: Der Mond dreht sich um die Erde oder die Erde ist eine Scheibe. Diese Gesamtaussage ist wahr, wenn mindestens eine Teilaussage wahr ist. Beachte, es handelt sich um ein nichtausschließendes Oder. Hier die Wahrheitswerttabelle:

α	β	α ∨ β
wahr	wahr	wahr
falsch	wahr	wahr
wahr	falsch	wahr
falsch	falsch	falsch

Führt zu folgender Formel:

I ((φ ∨ ψ)) = 1, falls I (φ) = 1 oder I (ψ) = 1, sonst I ((φ ∨ ψ)) = 0

4. Implikation: Hier stoßen wir auf ein natürlichsprachliches Problem. Lasset das allmächtige Wikipedia sprechen:

Die Lesart „wenn … dann“ ist insofern problematisch, als mit dem natürlichsprachlichen „wenn … dann“ vor allem inhaltliche Zusammenhänge wie Kausalität oder zeitliche Nähe ausgedrückt werden. All das macht die materiale Implikation nicht, sie nennt nur den formalen Zusammenhang: „Dass es regnet, ist eine hinreichende Bedingung dafür, dass die Straße nass ist“. Zur Frage, warum das eine hinreichende Bedingung ist – ob auf Grund eines kausalen Zusammenhangs oder auch nur rein zufällig –, nimmt die materiale Implikation nicht Stellung

Mit unseren obigen Aussagen mag das vielleicht ein Problem sein, deswegen bedienen wir uns den Beispielen von Wikipedia:

(γ) Es regnet.
(δ) Die Straße ist nass.

Beginnen wir diesmal mit der Wahrheitswerttabelle für die Formel:

I ((φ ⇒ ψ)) = 1, falls I (φ) = 0 oder I (ψ) = 1, sonst I ((φ ⇒ ψ)) = 0, daraus folgt für unsere Beispiele:

γ	δ	γ ⇒ δ
wahr	wahr	wahr
falsch	wahr	wahr
wahr	falsch	falsch
falsch	falsch	wahr

Das heißt für uns, wenn es regnet, ist die Straße nass und wenn die Straße nicht nass ist, regnet es nicht. Falsch wäre zu sagen, weil es nicht regnete, kann die Straße nicht nass sein.


5. Äquijunktion: Aussage A trifft genau dann zu wenn Aussage B zutrifft, dabei ist der allfällige Inhalt der Aussage wurscht, wie Wikipedia es so schön formuliert. Nehmen wir die zwei Aussagen:

(ε) Heute ist Dienstag.
(ζ) Morgen ist Mittwoch.

Daraus folgt, dass heute genau Dienstag ist, wenn morgen Mittwoch ist. Wenn morgen nicht Mittwoch ist, ist heute auch nicht Dienstag, ergo:

ε	ζ	ε ⇔ ζ
wahr	wahr	wahr
falsch	wahr	falsch
wahr	falsch	falsch
falsch	falsch	wahr

Abgeleitet zur Formel:

I ((φ ⇔ ψ)) = 1, falls I (φ) = (ψ), sonst I ((φ ⇔ ψ)) = 0

Abschließend möchte ich noch sagen, dass dieser Post auf Klabunde et al. und dem Wikipedia-Artikel Aussagenlogik basiert. Für eine Vertiefung empfehle ich Marcus Spies. Einführung in die Logik. Spektrum. 2004. Hoffentlich habe ich das Buch richtig gelesen, denn es kann natürlich sein, dass ich logische Fehler reingebracht habe. ;-)
Bald gehts weiter mit: